Question

12．如图，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD=PE．求证：AC=AB．

Answer 1

分析 易证∠CAP=∠BAP，再证明∠DCP=∠EBP即可证明△APC≌△APB，由全等三角形的性质即可得到AC=AB．

解答 证明：
∵BD，CE是△ABC的两条高，
∴CE⊥AB，BD⊥AC，
又∵PD=PE，
∴点P在∠BAC的角平分线上，
∴∠CAP=∠BAP，
∵∠DPC=∠EPC，∠CDP=∠BEP=90°，
∴∠DCP=∠EBP，
在△APC和△APB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACP=∠ABP}\\{∠CAP=∠BAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△APB（AAS），
∴AC=AB．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质以及角平分线性质逆定理的运用，熟记全等三角形的各种判断方法是证题的关键．