Question

如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．
（1）请你以其中两个条件作为命题的已知条件，并以其它的一个作为命题的结论．

 

在横线上填写一个真命题．并给出证明；
（2）请你以其中两个条件作为命题的已知条件，以其它的一个作为命题的结论，将一个假命题写在横线上

 

，并举一个反例说明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,命题与定理

专题：推理填空题

分析：（1）若AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC．则由角平分线的性质和等腰三角形的判定推知△EFD的等腰三角形，所以利用等腰三角形的“三线合一”的性质证得结论AD⊥EF；
（2）若AD平分∠BAC，AD⊥EF，则DE⊥AB，DF⊥AC．反例：当当四边形AEDF是菱形时，DE⊥AB，DF⊥AC不成立．

解答：解：（1）若AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC．则AD⊥EF．
证明如下：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴DG是EF的中垂线，
∴AD⊥EF；
故答案是：若AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC．则AD⊥EF；

（2）若AD平分∠BAC，AD⊥EF，则DE⊥AB，DF⊥AC．
反例：当四边形AEDF是菱形时，DE⊥AB，DF⊥AC不成立．
故答案是：若AD平分∠BAC，AD⊥EF，则DE⊥AB，DF⊥AC．

点评：本题考查了角平分线的性质，命题与定理等．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．