Question

10．在△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作圆O，交斜边AB于E，D是AC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）DE=2，AE=$\frac{16}{5}$．求圆O的半径．

Answer 1

分析 （1）证明△OCD≌△OED得到∠OCD=∠OED=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）过D作DF⊥AE于F，根据全等三角形的性质得到CD=DE=2，由等腰三角形的性质得到AF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{8}{5}$，根据勾股定理得到DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{6}{5}$，通过相似三角形的性质得到$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BC}$，代入数据即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OE，
∵点D为AC中点，点O为BC的中点，
∴OD为△CAB的中位线，
∴OD∥AB，
∴∠2=∠3，∠1=∠B，
而OB=OE，
∴∠3=∠B，
∴∠1=∠2，
在△OCD和△OED中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OE}\\{∠1=∠2}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OED，
∴∠OCD=∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）过D作DF⊥AE于F，
∵△OCD≌△OED，
∴CD=DE=2，
∵AD=CD，
∴AD=DE，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{8}{5}$，
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∵∠AFD=∠ACB=90°∠A=∠A，
∴△ADF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{DF}{BC}$，
∴BC=3，
∴圆O的半径=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．