题目内容
3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=3，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为斜边作等腰直角三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P运动到到点C时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）在点P从点M向点B运动的过程中，设PQ的长为y，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围），并求当点E在AD上时t的值．
（2）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，该最大值能否持续一段时间？若能，求出t的取值范围；若不能，请说明理由．
（3）在整个运动过程中，设△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
分析 （1）由y=PM+QM列出函数关系式即可；
（2）当t=4时，△EPQ的边长达到最大值，此后△EPQ沿射线BC平移，从而可求得t的取值范围；
（3）分多种情况讨论：如图2，连接EM，则EM⊥PQ，EM=$\frac{1}{2}$PQ，当0＜t≤3时，得到S=S△EPQ=$\frac{1}{2}$PQ•EM=$\frac{1}{2}$2t•t=t2，当3＜t≤4时，如图3，过P作PF⊥AD与F，连接EM得到S=6t-9，当4＜t≤5时，如图4，过P作PF⊥AD与F，得到S=$\frac{29}{2}$；当5＜t≤7时，如图5，得到S=-t+$\frac{11}{2}$，当7＜t＜12时，如图6，过N作NH⊥BC与H，过D作DG⊥BC与G，得到S=$\frac{3}{5}$t2$\frac{84}{5}$t+$\frac{432}{5}$．
解答 
解：（1）y=MP+MQ=2t；
（2）能，
此时，4≤t≤5．
过程如下：
如图1，当t=4时，P点与B点重合，Q点运动到C点，
此时被覆盖线段的长度达到最大值，
∵△PEQ为等腰直角三角形，
∴∠EPC=45°，
∴∠APE=45°，
∵AB=3，
∴AF=3，BF=3$\sqrt{2}$，
∴EF=FG=$\sqrt{2}$，
∴GD=6-3-2=1，
所以Q向右还可运动1秒，FG的长度不变，
∴4≤t≤5；
（3）如图2，连接EM，则EM⊥PQ，EM=$\frac{1}{2}$PQ，
当0＜t≤3时，
∴S=S△EPQ=$\frac{1}{2}$PQ•EM=$\frac{1}{2}$2t•t=t2，
当3＜t≤4时，如图3，过P作PF⊥AD与F，连接EM，
则四边形ABPF是矩形，
∴PF=AB=3，
∴△FHP是等腰直角三角形，
∴PH=3$\sqrt{2}$，
∵PQ=2t，
∴PE=$\sqrt{2}$t，
∴EH=$\sqrt{2}$t-3$\sqrt{2}$，
∴S=S△PQE-S△EHG=$\frac{1}{2}$PE2-$\frac{1}{2}$EH2，
∴S=6t-9，
当4＜t≤5时，如图4，过P作PF⊥AD与F，
则四边形ABPF是矩形，
∴PF=AB=3，
∴HF=PF=3，PH=3$\sqrt{2}$，
∵PQ=8，
∴PE=4$\sqrt{2}$，
∴EH=$\sqrt{2}$，
∴HG=2，
∵AF=PB=CQ=t-4，
∴DG=6-（t-4）-3-2=5-t，
∴S=S△PQE-S△EHG-S△CQN-S△GDN=$\frac{1}{2}×8×4$-$\frac{1}{2}$（DG+CQ）•AB，
∴S=$\frac{29}{2}$；
当5＜t≤7时，如图5，
∵AH=3+t-4，
∴DH=6-（t-1）=7-t，PB=CQ=t-4，
∴CP=8-（t-4），
∴S=S梯形PCDH=$\frac{1}{2}$（DH+PC）•AB，
∴S=-t+$\frac{11}{2}$，
当7＜t＜12时，如图6，过N作NH⊥BC与H，过D作DG⊥BC与G，
∴PH=NH，NH∥DG，
∴$\frac{CH}{NH}=\frac{CG}{DG}=\frac{2}{3}$，
∴CH=$\frac{2}{3}$NH=$\frac{2}{3}$PH，
∵PH+CH=PC=12-t，
∴$\frac{2}{3}$PH+PH=12-t，
∴NH=PH=$\frac{36-3t}{5}$，
∴S=S△PNC=$\frac{1}{2}$PC•NH，
∴S=$\frac{3}{5}$t2-$\frac{84}{5}$t+$\frac{432}{5}$．
点评 本题主要考查的是四边形的综合应用、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角形的面积公式、梯形的面积公式，根据题意画出图形是解题的关键．
能考试期末冲刺卷系列答案
如图，在梯形ABCD中，AD∥BD，DC⊥BC，AB=13，BC=14，AD=9，点O在边BC上，且以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点E
如图，等边三角形ABC的边长为8cm，动点P从点A出发以2cm/秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（0＜t＜4），四边形MNQP的面积为Scm2．
同学们都非常熟悉“龟兔赛跑”的故事，图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑”时路程与时间的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．