Question

2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BD，DC⊥BC，AB=13，BC=14，AD=9，点O在边BC上，且以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点E
（1）求梯形对角线AC的长；
（2）求⊙O的半径r．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BC于H，如图，易得四边形AHCD为矩形，则CH=AD=9，所以BH=BC-CH=5，利用勾股定理，在Rt△ABH中计算出AH=12，接着在Rt△ACH中可计算出AC；
（2）设⊙O的半径r，则OB=OE=r，OC=14-r，根据切线的性质得∠OEC=90°，由于∠OCE=∠ACH，则可判断Rt△COE∽Rt△CAH，根据相似三角形的性质得$\frac{14-r}{15}$=$\frac{r}{12}$，然后解方程求出r即可．

解答 解：（1）作AH⊥BC于H，如图，
∵AD∥BC，DC⊥BC，
∴四边形AHCD为矩形，
∴CH=AD=9，
∴BH=BC-CH=14-9=5，
在Rt△ABH中，∵AB=13，BH=5，
∴AH=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
在Rt△ACH中，∵AH=12，CH=9，
∴AC=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15；
（2）设⊙O的半径r，则OB=OE=r，OC=14-r，
∵OB为半径的⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC=90°，
∵∠OCE=∠ACH，
∴Rt△COE∽Rt△CAH，
∴$\frac{OC}{AC}$=$\frac{OE}{AH}$，即$\frac{14-r}{15}$=$\frac{r}{12}$，
∴r=$\frac{21}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了梯形的性质和相似三角形的判定与性质．