Question

8．如图，等边三角形ABC的边长为8cm，动点P从点A出发以2cm/秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以1cm/秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN，垂足分别为点M、N．设P、Q两点运动时间为t秒（0＜t＜4），四边形MNQP的面积为Scm²．
（1）当点P、Q在运动的过程中，t为何值时，PC=CQ？
（2）求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的$\frac{7}{16}$？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意得到AP=2t，CQ=t，列方程即可得到结果；
（2）△APM和△BQN都是有一个角是60°的直角三角形，根据勾股定理可分别求出AM，PM，BN和QN，然后求出直角梯形的高MN．用梯形面积公式求出四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式；
（3）根据题意列出方程即可解得t的值，然后看是否满足0＜t＜4．

解答 解：（1）根据题意得：AP=2t，CQ=t，
∴PC=8-2t，
当PC=CQ，即8-2t=t，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
∴t=$\frac{8}{3}$时，PC=CQ；

（2）根据题意得：AP=2t，QB=8-t，△APM和△QNB是直角三角形，四边形MNQP是直角梯形．
在Rt△APM和Rt△QNB中，AM=$\frac{1}{2}$AP=t，PM=$\sqrt{3}$t，BN=$\frac{1}{2}$（8-t），QN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（8-t），
∴MN=AB-AM-BN=8-t-$\frac{1}{2}$（8-t）=3-$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$（PM+QN）•MN=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{3}$t+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（8-t）]•（3-$\frac{1}{2}$t）=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²+8$\sqrt{3}$，
即S=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²+8$\sqrt{3}$；

（3）假设存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的$\frac{7}{16}$，
即S=$\frac{7}{16}$S_△ABC，-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²+8$\sqrt{3}$=$\frac{7}{16}$×$\frac{1}{2}$×$8×4\sqrt{3}$，
整理得：t²=8，
解得：t₁=2$\sqrt{2}$，t₂=-2$\sqrt{2}$（舍去）．
答：当t=2$\sqrt{2}$时，四边形MNQP的面积S等于△ABC的面积的$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查了正三角形的性质和直角三角形的性质、三角形和梯形面积的计算、函数解析式的求法以及方程的知识；本题难度较大，综合性强，把函数和面积融合在一起，比较复杂，检测学生的计算能力．