题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E是BC上的点，且BE=4．
（1）直接写出矩形ABCD的周长；
（2）将△ABE沿射线BC方向，以每秒1个单位的速度平移得到△A′B′E′，设平移的时间为t秒（t＞0）
①当A′E′经过线段DC的中点F时，求矩形ABCD与△A′B′E′重叠部分的面积；
②将A，E，E′，A′为顶点的四边形沿A′B′剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请你求出所有符合上述条件的t的值，并判定拼接后的三角形分别是什么特殊三角形．
（1）直接写出矩形ABCD的周长；
（2）将△ABE沿射线BC方向，以每秒1个单位的速度平移得到△A′B′E′，设平移的时间为t秒（t＞0）
①当A′E′经过线段DC的中点F时，求矩形ABCD与△A′B′E′重叠部分的面积；
②将A，E，E′，A′为顶点的四边形沿A′B′剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请你求出所有符合上述条件的t的值，并判定拼接后的三角形分别是什么特殊三角形．
考点：几何变换综合题
专题：
分析：（1）根据矩形的性质得出对边相等，求出即可；
（2）①求出CF、B′C长，根据梯形面积公式求出即可；
②画出符合条件的三种情况，结合图形求出BC的长，即可求出t的值，根据全等三角形的性质和图形即可得出拼接后的图形．
（2）①求出CF、B′C长，根据梯形面积公式求出即可；
②画出符合条件的三种情况，结合图形求出BC的长，即可求出t的值，根据全等三角形的性质和图形即可得出拼接后的图形．
解答：解：（1）矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=4+8+4+8=24；
（2）①如图：
∵F为DC中点，
∴CF=2，
∵AB=A′B′=4，BE=B′E′=4，
∴△FCE′是等腰直角三角形，
∴CE′=2，
∴B′C=2，
重叠部分的面积为直角梯形A′B′CF的面积，是
×（4+2）×2=6；
②点B′与点E的左侧，如图1，
设A′B′与AE交于H，△AA′H≌△EB′H，
∴AA′=B′E，AA′=BB′=EE′，
∴BB′=2，
∴t=2，
拼接后的三角形△A′B′E′为等腰直角三角形；
点B′在点E的重合，如图2，
可得△AA′E≌△BA′E，
∴BB′=BE=4，
∴t=4，
拼接后的三角形△A′BE′为等腰直角三角形；
点B′在点E的右侧，当点B′与点C重合，如图3，
可得△EPC≌△A′B′E′，
∴BB′=8，
∴t=8，
拼接后的三角形△AA′P为等腰直角三角形．
（2）①如图：
∵F为DC中点，
∴CF=2，
∵AB=A′B′=4，BE=B′E′=4，
∴△FCE′是等腰直角三角形，
∴CE′=2，
∴B′C=2，
重叠部分的面积为直角梯形A′B′CF的面积，是
| 1 |
| 2 |
②点B′与点E的左侧，如图1，
设A′B′与AE交于H，△AA′H≌△EB′H，
∴AA′=B′E，AA′=BB′=EE′，
∴BB′=2，
∴t=2，
拼接后的三角形△A′B′E′为等腰直角三角形；
点B′在点E的重合，如图2，
可得△AA′E≌△BA′E，
∴BB′=BE=4，
∴t=4，
拼接后的三角形△A′BE′为等腰直角三角形；
点B′在点E的右侧，当点B′与点C重合，如图3，
可得△EPC≌△A′B′E′，
∴BB′=8，
∴t=8，
拼接后的三角形△AA′P为等腰直角三角形．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识点的应用，题目是一道综合性比较强的题目，用了分类讨论思想，难度偏大．
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