题目内容
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），旋转后使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，我们将这种变换记为[α，n]．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°，
]得△AB′C′，则S△AB'C′：S△ABC= ；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 °；
（2）如图②，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=
，对△ABC作变换[α，n]得△AB′C′，使得四边形ABB′C′为梯形，其中AB∥B'C'，且梯形ABB'C'的面积为12
，求α和n的值．
（1）如图①，对△ABC作变换[60°，
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（2）如图②，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AC=
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考点：几何变换综合题
专题：
分析：（1）利用新定义得出[α，n]的意义，进而求出面积比和旋转角；
（2）利用旋转的性质以及相似三角形的判定与性质的α度数，进而利用锐角三角函数关系得出AB，BC的值，再利用梯形面积求出n的值．
（2）利用旋转的性质以及相似三角形的判定与性质的α度数，进而利用锐角三角函数关系得出AB，BC的值，再利用梯形面积求出n的值．
解答：解：（1）∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），
旋转后使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，这种变换记为[α，n]，
∴对△ABC作变换[60°，
]得△AB′C′，
∴S△AB'C′：S△ABC=（
）2=3；
直线BC与直线B′C′所夹的锐角为：60°，
故答案为：3，60；
（2）由题意可知：∵△AB'C'∽△ABC，
∴∠C′=∠C=90°，
=
=n，
∵AB∥B'C'，∴∠BAC'=90°
∴α=90°-∠BAC=60°，
在Rt△ABC中，AB=
=2，BC=
AB=1，
∴AC′=
n，B′C′=n，
∴在直角梯形ABB'C'中，
S=
(AB+B′C′)AC′=
(2+n)
n=12
，
∴n=4，n=-6（舍去），
故α=60°，n=4．
旋转后使各边长变为原来的n倍，得到△AB′C′，这种变换记为[α，n]，
∴对△ABC作变换[60°，
| 3 |
∴S△AB'C′：S△ABC=（
| 3 |
直线BC与直线B′C′所夹的锐角为：60°，
故答案为：3，60；
（2）由题意可知：∵△AB'C'∽△ABC，
∴∠C′=∠C=90°，
| AC′ |
| AC |
| B′C′ |
| BC |
∵AB∥B'C'，∴∠BAC'=90°
∴α=90°-∠BAC=60°，
在Rt△ABC中，AB=
| AC |
| cos30° |
| 1 |
| 2 |
∴AC′=
| 3 |
∴在直角梯形ABB'C'中，
S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
∴n=4，n=-6（舍去），
故α=60°，n=4．
点评：此题主要考查了几何变换以及相似三角形的判定与性质和新定义，得出[α，n]的意义是解题关键．
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