Question

19．如图，矩形ABCD的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D位于第一象限，且OA=3，OB=2，对角线AC、BD交于点G，若曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点C、G，则k=$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，则CE∥GF，设C（m．n），利用矩形的性质可得AG=CG，根据平行线得性质则可求得G点横坐标，且可求得G（$\frac{3+m}{2}$，$\frac{1}{2}$n），根据反比例函数系数k=xy，得到mn=$\frac{3+m}{2}$×$\frac{1}{2}$n，求得m=1，作CH⊥y轴于H，通过证得△AOB∽△BHC，求得CE，得出C得坐标（1，$\frac{7}{2}$），可求得k．

解答 解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，
∴CE∥GF，
设C（m．n），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AG=CG，
∴GF=$\frac{1}{2}$CE，EF=$\frac{1}{2}$（3-m），
∴OF=$\frac{1}{2}$（3-m）+m=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$m，
∴G（$\frac{3+m}{2}$，$\frac{1}{2}$n），
∵曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点C、G，
∴mn=$\frac{3+m}{2}$×$\frac{1}{2}$n，
解得m=1，
作CH⊥y轴于H，
∴CH=1，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBH+∠ABO=90°，
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∵∠AOB=∠BHC=90°，
∴△AOB∽△BHC，
∴$\frac{BH}{OA}$=$\frac{CH}{OB}$，即$\frac{BH}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴BH=$\frac{3}{2}$，
∴OH=$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$，
∴C（1，$\frac{7}{2}$），
∴k=1×$\frac{7}{2}$=$\frac{7}{2}$；
故答案为$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、三角形相似得判定和性质以及反比例函数k的几何意义，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解．