Question

16．如图，在直角坐标系xOy中，点A（2，0）和点B（-2，0），直线BC与y轴正半轴交于点C（0，b），过点A作AD⊥BC，垂足为D，联结OD．
（1）求OD的长；
（2）当∠ODA=30°时，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，已知点E在直角坐标平面内，如果以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．
（2）首先证明∠CBO=60°，在Rt△OBC中，根据OC=OB•tan60°计算即可．
（3）点E有三种可能，利用平行四边形的性质，以及中点坐标公式即可解决问题．

解答 解：（1）如图，∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵A（2，0），B（-2，0），
∴OA=OB=2，
∴OD=$\frac{1}{2}$AB=2．

（2）∵∠ODA=30°，OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=30°，
∴∠OBD=60°，
在Rt△OBC中，OC=OB•tan60°=2$\sqrt{3}$，
∴C（0，2$\sqrt{3}$）．

（3）∵四边形ADCE₁是平行四边形，∴CM=AM，DM=ME₁，
∵C（0，2$\sqrt{3}$），A（2，0），
∴M（1，$\sqrt{3}$），
∴E₁（3，$\sqrt{3}$），同法可得E₂（-3，3$\sqrt{3}$），E₃（1，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质、锐角三角函数、直角三角形斜边中线定理、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型．