如图.在菱形ABCD中.对角线AC与BD相交于点O.AB=8.∠BAD=60°.点E从点A出发.沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点E不与点A重合时.过点E作EF⊥AD于点F.作EG∥AD交AC于点G.过点G作GH⊥AD交AD于点H.得到矩形EFHG.设点E运动的时间为t秒(1)求线段EF的长,(2)求点H与点D重合时t的值,(3)设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFHG，设点E运动的时间为t秒
（1）求线段EF的长（用含t的代数式表示）；
（2）求点H与点D重合时t的值；
（3）设矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积与S平方单位，求S与t之间的函数关系式；
（4）矩形EFHG的对角线EH与FG相交于点O′，当OO′∥AD时，t的值为4；当OO′⊥AD时，t的值为3．

分析（1）由题意知：AE=2t，由锐角三角函数即可得出EF=$\sqrt{3}$t；
（2）当H与D重合时，FH=GH=8-t，由菱形的性质和EG∥AD可知，AE=EG，解得t=$\frac{8}{3}$；
（3）矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形需要分以下两种情况讨论：①当H在线段AD上，此时重合的部分为矩形EFHG；②当H在线段AD的延长线上时，重合的部分为五边形；
（4）当OO′∥AD时，此时点E与B重合；当OO′⊥AD时，过点O作OM⊥AD于点M，EF与OA相交于点N，然后分别求出O′M、O′F、FM，利用勾股定理列出方程即可求得t的值．

解答解：（1）由题意知：AE=2t，0≤t≤4，
∵∠BAD=60°，∠AFE=90°，
∴sin∠BAD=$\frac{EF}{AE}$，
∴EF=$\sqrt{3}$t；

（2）∵AE=2t，∠AEF=30°，
∴AF=t，
当H与D重合时，
此时FH=8-t，
∴GE=8-t，
∵EG∥AD，
∴∠EGA=30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠EGA=30°，
∴AE=EG，
∴2t=8-t，
∴t=$\frac{8}{3}$；

（3）当0＜t≤$\frac{8}{3}$时，
此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为矩形EFHG，
∴由（2）可知：AE=EG=2t，
∴S=EF•EG=$\sqrt{3}$t•2t=2$\sqrt{3}$t²，
当$\frac{8}{3}$＜t≤4时，如图1，
设CD与HG交于点I，
此时矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形为五边形FEGID，
∵AE=2t，
∴AF=t，EF=$\sqrt{3}$t，
∴DF=8-t，
∵AE=EG=FH=2t，
∴DH=2t-（8-t）=3t-8，
∵∠HDI=∠BAD=60°，
∴tan∠HDI=$\frac{HI}{DH}$，
∴HI=$\sqrt{3}$DH，
∴S=EF•EG-$\frac{1}{2}$DH•HI=2$\sqrt{3}$t²-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$（3t-8）²=-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$t²+24$\sqrt{3}$t-32$\sqrt{3}$；

（4）当OO′∥AD时，如图2
此时点E与B重合，
∴t=4；
当OO′⊥AD时，如图3，
过点O作OM⊥AD于点M，EF与OA相交于点N，
由（2）可知：AF=t，AE=EG=2t，
∴FN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∵O′是矩形EFHG的对角线的交点，
∴FM=$\frac{1}{2}$EG=t，
∵O′O⊥AD，O′是FG的中点，
∴O′O是△FNG的中位线，
∴O′O=$\frac{1}{2}$FN=$\frac{\sqrt{3}}{6}$t，
∵AB=8，
∴由勾股定理可求得：OA=4$\sqrt{3}$
∴OM=2$\sqrt{3}$，
∴O′M=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t，
∵FE=$\sqrt{3}$t，EG=2t，
∴由勾股定理可求得：FG²=7t²，
∴由矩形的性质可知：O′F²=$\frac{1}{4}$FG²，
∵由勾股定理可知：O′F²=O′M²+FM²，
∴$\frac{7}{4}$t²=（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t）²+t²，
∴t=3或t=-6（舍去）．
故答案为：t=4；t=3．