Question

15．如图1，对称轴为直线x=$\frac{1}{2}$的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；
（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．

解答 解：（1）由对称性得：A（-1，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-2），
把C（0，4）代入：4=-2a，
a=-2，
∴y=-2（x+1）（x-2），
∴抛物线的解析式为：y=-2x²+2x+4；
（2）如图1，设点P（m，-2m²+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，
∴S=S_梯形+S_△PDB=$\frac{1}{2}$m（-2m²+2m+4+4）+$\frac{1}{2}$（-2m²+2m+4）（2-m），
S=-2m²+4m+4=-2（m-1）²+6，
∵-2＜0，
∴S有最大值，则S_大=6；
（3）存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，
理由是：
分以下两种情况：
①当∠BQM=90°时，如图2：
∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ．
设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0），
把B（2，0）、C（0，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-2x+4，
设M（m，-2m+4），
则MQ=-2m+4，OQ=m，BQ=2-m，
在Rt△OBC中，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵MQ∥OC，
∴△BMQ∽BCO，
∴$\frac{BM}{BC}=\frac{BQ}{BO}$，即$\frac{BM}{2\sqrt{5}}=\frac{2-m}{2}$，
∴BM=$\sqrt{5}$（2-m）=2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$m，
∴CM=BC-BM=2$\sqrt{5}$-（2$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$m）=$\sqrt{5}$m，
∵CM=MQ，
∴-2m+4=$\sqrt{5}$m，m=$\frac{4}{\sqrt{5}+2}$=4$\sqrt{5}$-8．
∴Q（4$\sqrt{5}$-8，0）．
②当∠QMB=90°时，如图3，
同理可设M（m，-2m+4），
过A作AE⊥BC，垂足为E，
∴∠EAB=∠OCB，
∴sin∠EAB=$\frac{BE}{AB}=\frac{OB}{BC}$，
∴$\frac{BE}{3}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴BE=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
过E作EF⊥x轴于F，
sin∠CBO=$\frac{EF}{BE}=\frac{OC}{BC}$，
∴$\frac{EF}{\frac{3\sqrt{5}}{5}}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴EF=$\frac{6}{5}$，
由勾股定理得：BF=$\sqrt{B{E}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴OF=2-$\frac{3}{5}$=$\frac{7}{5}$，
∴E（$\frac{7}{5}$，$\frac{6}{5}$），
由A（-1，0）和E（$\frac{7}{5}$，$\frac{6}{5}$）可得：
则AE的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），
设Q（-x，0）（x＞0），
∵AE∥QM，
∴△ABE∽△QBM，
∴$\frac{1.2}{-2m+4}=\frac{3}{2+x}$①，
由勾股定理得：x²+4²=2×[m²+（-2m+4-4）²]②，
由以上两式得：m₁=4（舍），m₂=$\frac{4}{3}$，
当m=$\frac{4}{3}$时，x=$\frac{4}{3}$，
∴Q（-$\frac{4}{3}$，0）．
综上所述，Q点坐标为（4$\sqrt{5}$-8，0）或（-$\frac{4}{3}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合问题，综合性较强；考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，并利用方程组求图象的交点坐标，将函数和方程有机地结合，进一步把函数简单化；同时还考查了相似的性质：在二次函数的问题中，如果利用勾股定理不能求的边可以考虑利用相似的性质求解．