Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．
（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cos∠ABC=$\frac{2}{3}$，AB=12，求半圆O所在圆的半径．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，可得OA，根据角平分线的性质，可得OE，根据切线的判定，可得答案；
（2）根据余弦，可得OB的长，根据勾股定理，可得OA的长，根据三角形的面积，可得OE的长．

解答 （1）证明：如图1
，
作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵AB=AC，O为BC的中点，
∴∠CAO=∠BAO．
∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∴OD=OE，
∵AB经过圆O半径的外端，
∴AB是半圆O所在圆的切线；
（2）cos∠ABC=$\frac{2}{3}$，AB=12，得
OB=8．
由勾股定理，得
AO=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
由三角形的面积，得
S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OE=$\frac{1}{2}$OB•AO，
OE=$\frac{OB•AO}{AB}$=$\frac{8\sqrt{5}}{3}$，
半圆O所在圆的半径是$\frac{8\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质，利用切线的判定是解题关键，利用面积相等得出关于OE的长是解题关键．