Question

13．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点M的坐标为（-1，-4），且与x轴交于点A，点B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）填空：b=2，c=-3，直线AC的解析式为y=-x-3；
（2）直线x=t与x轴相交于点H．
①当t=-3时得到直线AN（如图1），点D为直线AC下方抛物线上一点，若∠COD=∠MAN，求出此时点D的坐标；
②当-3＜t＜-1时（如图2），直线x=t与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为$\frac{3}{5}$，求此时t的值．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标列出关于b、c的方程组求解可得，由抛物线解析式求得A、C坐标，利用待定系数法可得直线AC解析式；
（2）①设点D的坐标为（m，m²+2m-3），由∠COD=∠MAN得tan∠COD=tan∠MAN，列出关于m的方程求解可得；②求出直线AM的解析式，进而可用含t的式子表示出HE、EF、FP的长度，根据等腰三角形定义即可判定；由等腰三角形底角的余弦值为$\frac{3}{5}$可得$\frac{\frac{1}{2}FP}{EF}$=$\frac{3}{5}$，列方程可求得t的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c的顶点M的坐标为（-1，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=-1}\\{\frac{4c-{b}^{2}}{4}=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=x²+2x-3，
令y=0，得：x²+2x-3=0，解得：x₁=1，x₂=-3，
∴A（-3，0），B（1，0），
令x=0，得y=-3，
∴C（0，-3），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
将A（-3，0），C（0，-3）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-x-3；
故答案为：2，-3，y=-x-3．

（2）①设点D的坐标为（m，m²+2m-3），
∵∠COD=∠MAN，
∴tan∠COD=tan∠MAN，
∴$\frac{-m}{-（{m}^{2}+2m-3）}$=$\frac{2}{4}$，
解得：m=±$\sqrt{3}$，
∵-3＜m＜0，
∴m=-$\sqrt{3}$，
故点D的坐标为（-$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）；
②设直线AM的解析式为y=mx+n，

将点A（-3，0）、M（-1，-4）代入，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{-m+n=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为：y=-2x-6，
∵当x=t时，HE=-（-t-3）=t+3，HF=-（-2t-6）=2t+6，HP=-（t²+2t-3），
∴HE=EF=HF-HE=t+3，FP=-t²-4t-3，
∵HE+EF-FP=2（t+3）+t²+4t+3=（t+3）²＞0，
∴HE+EF＞FP，
又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，
∴当-3＜t＜-1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；
由题意得：$\frac{\frac{1}{2}FP}{EF}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{\frac{1}{2}（-{t}^{2}-4t-3）}{t+3}$=$\frac{3}{5}$，
整理得：5t²+26t+33=0，
解得：t₁=-3，t₂=-$\frac{11}{5}$，
∵-3＜t＜-1，
∴t=-$\frac{11}{5}$．

点评 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式函数图象交点的求法等知识点、等腰三角形的判定等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．综合性强．