Question

如图，在长方形ABCD中，AB=18cm，CB=8cm．动点P从点A出发，以4cm/秒的速度由A-B-C-D运动，同时点Q从点B出发，以2cm/秒的速度由B-C-D运动，当P、Q中的某一点到达点D时同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）当t=

 

秒时，点P与点Q重合．
（2）试用含t的式子表示△APQ的面积（注明相应的t的取值范围）．
（3）求出△APQ是以AP斜边的直角三角形时的t的值．

Answer 1

考点：勾股定理,矩形的性质

专题：动点型

分析：（1）设t秒时，P与Q重合，根据题意列出方程4t=2t+18，求出方程的解即可确定出t的值；
（2）分边讨论面积，有五种情况．
（3）当PB²=PC²+CQ²时，即PB=PQ时△PQA是以AP为斜边的直角三角形，利用勾股定理即可求得．

解答：解；（1）9，
根据题意列出方程4t=2t+18，
解得：t=9，
故答案为9．

（2）分边讨论面积，
当P点运动到B点所需要的时间为：18÷4=4.5s，
当P点运动到C点所需要的时间为：26÷4=6.5s，
当P点运动到D点所需要的时间为：44÷4=11s，
当Q点运动到C点所需要的时间为：8÷2=4s，
当Q点运动到D点所需要的时间为：26÷2=13s，
0～4s，P点在AB上，Q点在BC上，△APQ的面积为：

1

2

•4t•2t=4t²（0≤t＜4）；
4s～4.5s，P点在AB上，Q点在CD上，△APQ的面积为：

1

2

•4t•8=16t（4≤t＜4.5）；
4.5s～6.5s，P点在BC上，Q点在CD上，△APQ的面积为：18×8-

1

2

（4t-18）×18-

1

2

（2t-8）（26-4t）-

1

2

（26-2t）×8=4t²-70t+306（4.5≤t＜6.5）；
6.5s～9s，P点在CD上，Q点在CD上，△APQ的面积为：

1

2

（2t+18-4t）×8=72-8t（6.5≤t＜9）；
9s～11s，P点在CD上，Q点在CD上，△APQ的面积为：

1

2

（4t-18-2t）×8=8t-72（9≤t≤11）；


（3）如图，当PB²=PC²+CQ²时，即PB=PQ时△PQA是以AP为斜边的直角三角形，
则（4t-18）²=（26-4t）²+（2t-8）²，
整理得；t²-24t+106=0，
解得；t=6，t=18（舍去），
∴△APQ是以AP斜边的直角三角形时的t的值为6．

点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，利用分类讨论的思想来解决问题是本题的关键．