Question

如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则

AG

FD

的值为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质

专题：几何图形问题,压轴题

分析：解题关键是作出辅助线，如解答图所示：
第1步：利用角平分线的性质，得到BD=

5

4

CD；
第2步：延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；
第3步：过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD=BD=KD=

5

4

CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；
第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出

AG

FD

的值．

解答：解：已知AD为角平分线，则点D到AB、AC的距离相等，设为h．
∵

BD

CD

=

S△ABD

S△ACD

=

1 2 AB•h

1 2 AC•h

=

AB

AC

=

5

4

，
∴BD=

5

4

CD．
如右图，延长AC，在AC的延长线上截取AM=AB，则有AC=4CM．连接DM．
在△ABD与△AMD中，

AB=AM ∠BAD=∠MAD AD=AD

∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD=BD=

5

4

CD．
过点M作MN∥AD，交EG于点N，交DE于点K．
∵MN∥AD，
∴

CK

CD

=

CM

AC

=

1

4

，
∴CK=

1

4

CD，
∴KD=

5

4

CD．
∴MD=KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK=∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形，且∠1=∠2；
∵MN∥AD，
∴∠3=∠4=∠1=∠2，
又∵∠DKM=∠3（对顶角）
∴∠DMK=∠4，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN=DG=2FD．
∵点H为AC中点，AC=4CM，
∴

AH

MH

=

2

3

．
∵MN∥AD，
∴

AG

MN

=

AH

MH

，即

AG

2FD

=

2

3

，
∴

AG

FD

=

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题是几何综合题，难度较大，正确作出辅助线是解题关键．在解题过程中，需要综合利用各种几何知识，例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等，对考生能力要求较高．