Question

2．在平面直角坐标中，A（-2，0），B（0，2），C（2，0）．
（1）如图①，BD∥AC，且AD=AC，求点D的坐标；
（2）如图②，将线段OC绕O点旋转至OE，当点E在第四象限时，请探究：线段AE，BE，CE之间的数量关系；
（3）如图③，将线OC绕O点旋转至OE，当E在第一象限时，..直接写出线段AE，BE，CE之间的数量关系为AE-CE=$\sqrt{2}$BE．

Answer 1

分析 （1）设出点D的坐标，用两点间的距离公式得出AD，AC，最后用AD=AC建立方程求解即可；
（2）先判断出△ABC是等腰直角三角形，再判断出∠AEC=90°=∠ABC，进而得出点A，B，C，E四点共圆，即可得出∠BCF=∠BAE，即可判断出△ABE≌△CBF，得出AE=CF，再用勾股定理得出EF=$\sqrt{2}$BE，最后代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法即可得出结论．

解答 解：（1）∵A（-2，0），C（2，0）．
∴AC=4，
∵BD∥AC，B（0，2），
∴设D（m，2），
∵A（-2，0），
∴AD=$\sqrt{（m+2）^{2}+4}$，
∵AD=AC，
∴$\sqrt{（m+2）^{2}+4}$=4，
∴m=-2±2$\sqrt{3}$，
∴D（-2-2$\sqrt{3}$，2）或D（-2+2$\sqrt{3}$，2）；
（2）AE+CE=$\sqrt{2}$BE；
理由：如图1，连接BC，过点B作BF⊥BE交EC延长线于F，
∵A（-2，0），B（0，2），C（2，0），
∴OA=OB=OC=2，
∵OB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵线段OC绕O点旋转至OE，
∴OE=OA=OC
∴△ACE是直角三角形，
∴∠AEC=90°=∠ABC，
∴点A，B，C，E四点共圆，
∴∠BCF=∠BAE，
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBF}\\{AB=BC}\\{∠BAE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，
在R△EBF中，∠BEF=∠BAC=45°，
∴EF=$\sqrt{2}$BE，
∵EF=CE+CF=CE+AE，
∴AE+CE=$\sqrt{2}$BE；
（3）AE-CE=$\sqrt{2}$BE，
理由：如图2，连接BC，过点B作BF⊥BE交AE于F，
同（2）的方法，得△BCE≌△BAF，
∴CE=AF，
在R△EBF中，∠BEF=∠BAC=45°，
∴EF=$\sqrt{2}$BE，
∵EF=AE-AF=AE-CE，
∴AE-CE=$\sqrt{2}$BE，
故答案为：AE-CE=$\sqrt{2}$BE．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了平面坐标系内，两点间的距离公式，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的判断和性质，勾股定理；解（1）的关键是用AD=AC，建立方程$\sqrt{（m+2）^{2}+4}$=4，解（2）（3）关键是△ABE≌△CBF，是一道中等难度的中考常考题．