Question

观察下面的变形规律（阅读材料）：
①

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，
②

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，…；…．
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想

1

n(n+1)

=

 

；
（2）受（1）小问启发，请你解方程：

1

x(x+1)

+

1

x+1

=2；
（3）若n为正整数，请你猜想

1

n(n+3)

=

 

．

Answer 1

考点：分式的加减法,解分式方程

专题：阅读型

分析：（1）根据①中式子的变化得出

1

n(n+1)

的值；
（2）利用①中变化规律进而化简分式，进而解分式方程求出即可；
（3）利用①②中式子变化规律进而猜想得出答案．

解答：解：（1）∵

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，
∴

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
故答案为：

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

x(x+1)

+

1

x+1

=2，
∴

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

=2，
∴

1

x

=2，
解得：x=

1

2

，
检验：当x=

1

2

时，x（x+1）≠0，
∴x=

1

2

是原方程的根；

（3）∵①

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…，
②

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，…；
∴

1

n(n+3)

=

1

3

（

1

n

-

1

n+3

）．
故答案为：

1

3

（

1

n

-

1

n+3

）．

点评：此题主要考查了数据变化规律以及分式的加减以及分式方程的解法，根据已知得出数据变化规律是解题关键．