Question

11．正方形ABCD和正方形CEFG，连结BF，DF，点P为线段DF的中点，连接GP．
（1）如图1，如果点E，G分别在边BC、CD上，猜想BF与GP的数量关系，并给出证明；
（2）如图2，在如图1的基础上将正方形CEFG绕点C旋转，（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到DC=BC，CE=CG，FE=GF，∠DGF=∠FEB=90°，推出△BEF≌△DGF，由全等三角形的性质得到BF=DF，于是得到结论；
（2）延长FG到H，使GH=FG，连接CH，DH，CF，通过△BCF≌△DCH，得到BF=DH，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD和CEFG是正方形，
∴DC=BC，CE=CG，FE=GF，∠DGF=∠FEB=90°，
∴BE=DG，
在△BEF和△DGF中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠FEB=∠DGF}\\{EF=GF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DGF，
∴BF=DF，
∵P为线段DF的中点，
∴GP=$\frac{1}{2}$DF，
∴GP=$\frac{1}{2}$BF；

（2）成立，理由如下：
延长FG到H，使GH=FG，连接CH，DH，CF，
∵GH=FG=GC，CG⊥FH，
∴FC=HC，∠FCH=90°=∠BCD，
∴∠BCF=∠HCD，
在△BCF与△DCH中，$\left\{\begin{array}{l}{FC=HC}\\{∠BCF=∠HCD}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCH，
∴BF=DH，
∵P，G分别是FD，FH的中点，
∴PG=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{2}$BF．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．