Question

16．如图，已知点A、B、C是⊙O上的点，其中点C是弧AB的中点，OC=4cm，点P是OC延长线上一点，连接PA、PB．
（1）求证：PA=PB；
（2）填空：
①若∠BOA=90°，当PB=4cm时，四边形OAPB是正方形；
②若∠BOA=120°，当OP=4cm时，四边形OAPB是菱形．

Answer 1

分析 （1）由弧的中点，得到∠BOC=∠AOC，用SAS直接判断出△BOP≌△AOP，即可；
（2）①由正方形的性质得到PB=OB即可；
②由菱形的性质得到BP=OB，再由∠BOA=120°，判断出△BOP是等边三角形即可．

解答 解：（1）∵点C是弧AB的中点，
∴∠BOC=∠AOC，
在△BOP和△AOP中$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOP=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△AOP，
∴PA=PB，
（2）①∵OC=4，
∴OB=OC=4
∵四边形OAPB是正方形，且∠BOA=90°，
∴OB=PB=4cm，
故答案为4，
②由（1）得，∠BOP=∠AOP=$\frac{1}{2}$∠BOA=60°
∵四边形OAPB是菱形，
∴OB=BP，
∴△BOP是等边三角形，
∴OP=OB=4cm
故答案为4．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的性质，解本题的关键是判断出△BOP≌△AOP．