Question

8．如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，
（1）如图1，E、P为直线BC上两点，连接DP、DE，若点E为BC中点，BC=2，当∠DPC=∠EDC时，求△PED的面积；
（2）如图2，E在BD上，且∠ECD=15°，过C作CP⊥CE交DB延长线于P，在CP上取点F，连接EF，延长EC至点G使CG=CF，在CP上取点H，连接GH使GH=EF．求证：2DE=PH．

Answer 1

分析 （1）如图1中，由△ECD∽△DCP，得$\frac{DC}{CP}$=$\frac{EC}{DC}$，求出PC，再根据S_△PDE=$\frac{1}{2}$•PE•DC计算即可．
（2）如图2中，连接BH．由△ECF≌△HCG，推出EC=HC，再证明∠P=30°，由△BCH≌△DCE，推出DE=BH，∠CBH=∠CDE=45°，推出∠DBH=∠DBC+∠CBH=90°，推出∠FBH=90°，推出PH=2BH即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=BC=2，∠DCB=90°，
∵点E为BC中点，
∴EC=1，
∵∠DPC=∠EDC，∠DCE=∠DCP，
∴△ECD∽△DCP，
∴$\frac{DC}{CP}$=$\frac{EC}{DC}$，
∴$\frac{2}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=4，PE=3，
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}$•PE•DC=$\frac{1}{2}$×3×2=3．

（2）如图2中，连接BH．

∵CE⊥PC，
∴∠ECF=∠HCG=90°，
在△ECF和△HCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=CH}\\{∠ECF=∠HCG}\\{CF=CG}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△HCG，
∴EC=HC，
∵∠DCE=∠BCD=90°，
∴∠ECD=∠BCH=15°，
∵∠DBC=∠BCP+∠P=45°，
∴∠P=30°，
在△BCH和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCH=∠ECD}\\{CH=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△DCE，
∴DE=BH，∠CBH=∠CDE=45°，
∴∠DBH=∠DBC+∠CBH=90°，
∴∠FBH=90°，
∴PH=2BH，
∴PH=2DE．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形的30度角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，证明线段之间的两倍关系要想到直角三角形30度角性质，属于中考常考题型．