Question

4．如图，在Rt△ABC，∠C=90°．AC=6，BC=8．点P，Q同时从点C出发．点P沿C-A一B以每秒3个单位的速度运动．点Q沿C一B一A以每秒2个单位的速度运动，当P，Q相遇时停止运动．
（1）当P，Q相遇时，t=$\frac{24}{5}$s（直接写出答案）
（2）在运动过中．求△PCQ的面积S与运动时间t的函数关系式．
（3）在运动过程中，是否存在∠PQC=∠A？若存在．请写出t的值（直接写出答案）若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理可得AB=10，设t秒后相遇，由题意3t+2t=6+8+10，解方程即可．
（2）分三种情形考虑问题①如图1中，当0＜t≤2时，②如图2中，当2＜t≤4时，作PH⊥BC于H．③如图3中，当4＜t$≤\frac{24}{5}$时，作CH⊥AB于H，分别求解即可．
（3）分三种情形考虑问题①如图1中，当0＜t≤2时，②如图2中，当2＜t≤4时，作PH⊥BC于H．③如图3中，当4＜t$≤\frac{24}{5}$时，作CH⊥AB于H，分别求解即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
设t秒后相遇，由题意3t+2t=6+8+10，
∴t=$\frac{24}{5}$s．
故答案为$\frac{24}{5}$s．

（2）①如图1中，当0＜t≤2时，S=$\frac{1}{2}$×3t×2t=3t²，

②如图2中，当2＜t≤4时，作PH⊥BC于H．

∵PH∥AC，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{PH}{AC}$，
∴$\frac{16-3t}{10}$=$\frac{PH}{6}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$（16-3t），
∴S=$\frac{1}{2}$•CQ•PH=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{3}{5}$（16-3t）=-$\frac{9}{5}$t²+$\frac{48}{5}$t．
③如图3中，当4＜t$≤\frac{24}{5}$时，作CH⊥AB于H，则CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，

∴S=$\frac{1}{2}$×PQ×CH=$\frac{1}{2}$（24-5t）×$\frac{24}{5}$=-12t+$\frac{288}{5}$，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{3{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{9}{5}{t}^{2}+\frac{48}{5}t}&{（2＜t≤4）}\\{-12t+\frac{288}{5}}&{（4＜t≤\frac{24}{5}）}\end{array}\right.$．

（3）①如图1中，当0＜t≤2时，
∵$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{4}{3}$，
∴△PCQ与△BCA不相似，
∠PQC≠∠A，
②如图2中，当2＜t≤4时，作PH⊥BC于H．
∵∠A=∠PQC，
∴tan∠PQC=tan∠A=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{PH}{HQ}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{\frac{3}{5}（16-3t）}{\frac{4}{5}（16-3t）-（8-2t）}$=$\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{48}{19}$s．
③如图3中，当4＜t$≤\frac{24}{5}$时，作CH⊥AB于H，
∵∠A=∠PQC，
∴CA=CQ，AH=HQ=$\frac{18}{5}$，
∴BQ=AB-2AH=$\frac{14}{5}$，
∴t=$\frac{8+\frac{14}{5}}{2}$=$\frac{27}{5}$不合题意舍弃，
综上所述，t=$\frac{48}{19}$s时，∠PQC=∠A．

点评 本题考查三角形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．