Question

20．如图，AB、CD都是⊙O的直径，弦DE∥AB，
（1）求证：AC=AE；
（2）若$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$，判断四边形OAED的形状是菱形．并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先连接OE，由弦DE∥AB，可得∠AOC=∠D，∠OED=∠AOE，则可证得∠AOE=∠AOC，然后由圆心角与弦的关系，即可证得AC与AE的大小关系；
（2）先证两个正三角形△AOE和△DOE，然后根据四边相等得出结论．

解答 （1）解：如图，连接OE，
∵DE∥AB，
∴∠AOC=∠D，∠OED=∠AOE，
∵OE=OD，
∴∠D=∠OED，
∴∠AOC=∠AOE，
∴AC=AE；

（2）四边形OAED的形状是菱形，
证明：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$，
∴∠AOC=∠DOE，
又∵AC=AE，
∴∠AOC=∠AOE，
∴∠AOC=∠DOE=∠AOE，
又∵CD是直径，
∴∠AOC=∠DOE=∠AOE=60°，
又∵AO=EO=DO，
∴△AOE和△DOE都是等边三角形，
∴AE=AO=DO=DE，
∴四边形OAED的形状是菱形．

点评 本题主要考查了圆心角与弦的关系，等边三角形的判定以及平行线的性质．解题时注意：四条边都相等的四边形是菱形．