如图.在平面直角坐标系中.点A.以OA为直径在第一象限内作半圆.B为半圆上一点.连接AB并延长至C.使BC=AB.过C作CD⊥x轴于点D.交线段OB于点E.已知CD=8.抛物线经过O.E.A三点．(1)∠OBA=90°．(2)求抛物线的函数表达式．(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点.以P.O.A.E为顶点的四边形面积记作S.则S取何值时.相应的点P有且只有3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．
（1）∠OBA=90°．
（2）求抛物线的函数表达式．
（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？

分析（1）利用圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，即可得出答案；
（2）利用（1）中的结论易得OB是的垂直平分线，易得点B，点C的坐标，由点O，点B的坐标易得OB所在直线的解析式，从而得出点E的坐标，用待定系数法得抛物线的解析式；
（3）利用（2）的结论易得点P的坐标，分类讨论①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，易得OP所在直线的函数关系式，表示出Q点的纵坐标，
得QE的长，表示出四边形POAE的面积；②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，易得AP所在直线的解析式，从而求得Q点的纵坐标，得QE求得四边形POAE的面积，当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，令$-\frac{3}{8}p^2+\frac{9}{4}p+15$=16，解得p，得出结论．

解答解：（1）∵OA是⊙O的直径，
∴∠OBA=90°，
故答案为：90；

（2）连接OC，如图1所示，
∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC，
∴OB是AC的垂直平分线，
∴OC=OA=10，
在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，
∴OD=6，
∴C（6，8），B（8，4）
∴OB所在直线的函数关系为y=$\frac{1}{2}$x，
又∵E点的横坐标为6，
∴E点纵坐标为3，
即E（6，3），
抛物线过O（0，0），E（6，3），A（10，0），
∴设此抛物线的函数关系式为y=ax（x-10），把E点坐标代入得：
3=6a（6-10），
解得a=-$\frac{1}{8}$．
∴此抛物线的函数关系式为y=-$\frac{1}{8}$x（x-10），即y=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{5}{4}$x；

（3）设点P（p，-$\frac{1}{8}$p²+$\frac{5}{4}$p），
①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图2，
OP所在直线函数关系式为：y=（-$\frac{1}{8}$p+$\frac{5}{4}$）x
∴当x=6时，y=$-\frac{3}{4}p+\frac{15}{2}$，即Q点纵坐标为$-\frac{3}{4}p+\frac{15}{2}$，
∴QE=$-\frac{3}{4}p+\frac{15}{2}$-3=$-\frac{3}{4}p+\frac{9}{2}$，
S_{四边形POAE}
=S_△OAE+S_△OPE
=S_△OAE+S_△OQE-S_△PQE
=$\frac{1}{2}$•OA•DE+$\frac{1}{2}$QE•OD-$\frac{1}{2}$•QE•P_x•
=$\frac{1}{2}$×10×3+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{4}$p+$\frac{9}{2}$）×6-$\frac{1}{2}$•（$-\frac{3}{4}p+\frac{9}{2}$）•（6-p），
=$-\frac{3}{8}p^2+\frac{9}{4}p+15$
②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图3，
P（p，-$\frac{1}{8}$p²+$\frac{5}{4}$p），A（10，0）
∴设AP所在直线方程为：y=kx+b，把P和A坐标代入得，
$\left\{\begin{array}{l}10k+b=0\\ pk+b=-\frac{1}{8}p^2+\frac{5}{4}p\end{array}$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{8}p\\ b=\frac{5}{4}p\end{array}$．
∴AP所在直线方程为：y=$-\frac{1}{8}p$x+$\frac{5}{4}p$，
∴当x=6时，y=$-\frac{1}{8}p$•6+$\frac{5}{4}p$=$\frac{1}{2}$P，即Q点纵坐标为$\frac{1}{2}$P，
∴QE=$\frac{1}{2}$P-3，
∴S_{四边形POAE}
=S_△OAE+S_△APE
=S_△OAE+S_△AQE-S_△PQE
=$\frac{1}{2}$•OA•DE+$\frac{1}{2}$•QE•DA-$\frac{1}{2}$•QE•（P_x-6）
=$\frac{1}{2}$×10×3+$\frac{1}{2}$•QE•（DA-P_x+6）
=15+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$p-3）•（10-p）
=$-\frac{1}{4}p^2+4p$
=$-\frac{1}{4}（p-8）^2+16$，
∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，
令$-\frac{3}{8}p^2+\frac{9}{4}p+15$=16，解得，p=3±$\frac{\sqrt{57}}{3}$，
∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，
综上所知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．