Question

【题目】如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G, AC与BG的交点为M．求证：EM:DM=CG:AC；

(3)在(2)小题的条件下，当AB=4，AD=时，求四边形ABGF的面积．

Answer 1

【答案】（1）BD=CF成立，理由见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，根据角边角关系证出△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD＝CF；

（2）先设BG交AC于点M，根据（1）证出的△BAD≌△CAF，可得∠ABM＝∠GCM，又根据对顶角相等，得出△BMA∽△CMG，再根据根据相似三角形的对应角相等，可得∠BGC＝∠BAC＝90°，即可证出BD⊥CF；

（3）首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM的值，从而求出CM的值．

解（1）BD=CF成立．

理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

∴△BAD≌△CAF（SAS）

∴BD=CF ．

（2）证明：设BG交AC于点M．

∵△BAD≌△CAF（已证），

∴∠ABM=∠GCM．

∵∠BMA=∠CMG，

∴△BMA∽△CMG．

∴,

∵AB=AC

∴．

(3)过点F作FN⊥AC于点N．

∵在正方形ADEF中，AD=DE=，

∴AE==2，

∴AN=FN=AE=1，

∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，

∴CN=AC﹣AN=3，BC==4，

∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=，

∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=，

∴AM=AB=，

∴EM=AE﹣AM=4﹣．