Question

15．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F为CE的中点，连接AF、DF．
（1）求证：△AFD为等腰三角形；
（2）若AB=3，AD=5，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出当△AFD的面积为整数时所有AE的长．

Answer 1

分析 （1）延长AF交DC延长线于点M，如图，先根据矩形的性质得到AB∥CD，∠ADC=90°，再利用平行线的性质得∠EAF=∠M，则可根据“ASA”判定△AFM≌△MFC，得到AF=FM，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可判定△AFD为等腰三角形；
（2）设AE=x，△ADF的面积用S表示，利用全等的性质得到CM=AE=x，再根据三角形面积公式得到S_△ADF=$\frac{1}{2}$S_△ADM=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•5•（3+x），则x=$\frac{4S-15}{5}$，再利用0＜x＜3得到0＜$\frac{4S-15}{5}$＜3，解不等式得到得S的整数值为4、5、6、7，然后分别计算对应的x的值即可．

解答 （1）证明：延长AF交DC延长线于点M，如图，
∵四边形ABCD为ABCD，
∴AB∥CD，∠ADC=90°，
∴∠EAF=∠M，
在△AFM和△MFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠M}\\{FE=FC}\\{∠AFE=∠MFC}\end{array}\right.$，
∴△AFM≌△MFC，
∴AF=FM，
∴DF为Rt△ADM的斜边AM上的中线，
∴AF=DF=MF，
∴△AFD为等腰三角形；
（2）解：设AE=x，△ADF的面积用S表示，
∵△AFM≌△MFC，
∴CM=AE=x，
∵AF=MF，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$S_△ADM=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•5•（3+x），
即S=$\frac{5x+15}{4}$，
∴x=$\frac{4S-15}{5}$，
∵0＜x＜3，
∴0＜$\frac{4S-15}{5}$＜3，解得3.75＜S＜7.5，
∴S的整数值为4、5、6、7，
当S=4时，x=$\frac{4S-15}{5}$=$\frac{1}{5}$，
当S=5时，x=$\frac{4S-15}{5}$=1，
当S=6时，x=$\frac{4S-15}{5}$=$\frac{9}{5}$，
当S=7时，x=$\frac{4S-15}{5}$=$\frac{13}{5}$，
即当△AFD的面积为整数时AE的长为$\frac{1}{5}$，1，$\frac{9}{5}$，$\frac{13}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角．也考查了全等三角形的判定与性质．