Question

15．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0）是x轴正半轴上一点，C是第四象限一点，CB⊥y轴，交y轴负半轴于B（0，b），且（a-3）²+|b+4|=0，S_{四边形AOBC}=16．
（1）求C点坐标；
（2）如图2，设D为线段OB上一动点，当AD⊥AC时，∠ODA的角平分线与∠CAE的角平分线的反向延长线交于点P，求∠APD的度数．
（3）如图3，当D点在线段OB上运动时，作DM⊥AD交BC于M点，∠BMD、∠DAO的平分线交于N点，则D点在运动过程中，∠N的大小是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用非负数的和为零，各项分别为零，求出a，b即可；
（2）用同角的余角相等和角平分线的意义即可；
（3）利用角平分线的意义和互余两角的关系简单计算证明即可．

解答 解：（1）∵（a-3）²+|b+4|=0，
∴a-3=0，b+4=0，
∴a=3，b=-4，
∴A（3，0），B（0，-4），
∴OA=3，OB=4，
∵S_{四边形AOBC}=16．
∴$\frac{1}{2}$（OA+BC）×OB=16，
∴$\frac{1}{2}$（3+BC）×4=16，
∴BC=5，
∵C是第四象限一点，CB⊥y轴，
∴C（5，-4）
（2）如图，

延长CA，
∵AF是∠CAE的角平分线，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠CAE，
∵∠CAE=∠OAG，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠OAG，
∵AD⊥AC，
∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠OAG，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠ADO，
∵DP是∠ODA的角平分线
∴∠ADO=2∠ADP，
∴∠CAF=∠ADP，
∵∠CAF=∠PAG，
∴∠PAG=∠ADP，
∴∠APD=180°-（∠ADP+∠PAD）=180°-（∠PAG+∠PAD）=180°-90°=90°
即：∠APD=90°
（3）不变，∠ANM=45°
理由：如图，

∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∵DM⊥AD，
∴∠ADO+∠BDM=90°，
∴∠DAO=∠BDM，
∵NA是∠OAD的平分线，
∴∠DAN=$\frac{1}{2}$∠DAO=$\frac{1}{2}$∠BDM，
∵CB⊥y轴，
∴∠BDM+∠BMD=90°，
∴∠DAN=$\frac{1}{2}$（90°-∠BMD），
∵MN是∠BMD的角平分线，
∴∠DMN=$\frac{1}{2}$∠BMD，
∴∠DAN+∠DMN=$\frac{1}{2}$（90°-∠BMD）+$\frac{1}{2}$∠BMD=45°
在△DAM中，∠ADM=90°，
∴∠DAM+∠DMA=90°，
在△AMN中，
∠ANM=180°-（∠NAM+∠NMA）
=180°-（∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA）
=180°-[（∠DAN+DMN）+（∠DAM+∠DMA）]
=180°-（45°+90°）
=45°，
∴D点在运动过程中，∠N的大小不变，求出其值为45°

点评 此题是四边形综合题，主要考查了非负数的性质，四边形的面积的计算方法，角平分线的意义，解本题的关键是用整体思想解决问题，也是本题的难点．