Question

9．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成长方形零件PQMN，使长方形PQMN的边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，求这个长方形零件PQMN面积S的最大值．

Answer 1

分析 设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80-x，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示a，故S=x•a，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值．

解答 解：设长方形零件PQMN的边PN=a，PQ=x，则AE=80-x．
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC．
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$．
因此，$\frac{a}{120}$=$\frac{80-x}{80}$．
解得a=120-$\frac{3}{2}$x．
所以长方形PQMN的面积S=xa=x（120-$\frac{3}{2}$x）=-$\frac{3}{2}$x²+120x．（3分）
当x=-$\frac{120}{2×（-\frac{3}{2}）}$=40时，a=60．（4分）
S_最大值=40×60=2400（mm²）．
所以这个长方形零件PQMN面积S的最大值是2400mm²．

点评 本题用二次函数的方法解决面积问题，是函数性质的实际运用，需要从计算矩形面积着手，求矩形的长、宽．