Question

4．设n为正整数，若64ⁿ-7ⁿ能被57整除，则8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²能被下列哪个数整除（　　）

• A． 55
• B． 56
• C． 57
• D． 58

Answer 1

分析 由于64ⁿ-7ⁿ能被57整除，则可设64ⁿ-7ⁿ=57m（m为正整数），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，根据幂的乘方得到和提公因数得到8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ=57（8m+7ⁿ），于是可得到8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数．

解答 解：∵64ⁿ-7ⁿ能被57整除，
∴64ⁿ-7ⁿ=57m（m为正整数），即8²ⁿ=57m+7ⁿ，
∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²=8×8²ⁿ+49×7ⁿ
=8（57m+7ⁿ）+49×7ⁿ
=57（8m+7ⁿ），
∴8²ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²是57的倍数，
故选：C．

点评 本题考查的是因式分解的应用，根据题目的特点，通过因式分解将式子进行正确的变形是解题的关键．