Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在直线BC上，∠DAE=45°，
（1）写出图中的相似三角形；
（2）求证：BE•CD=2S_△ABC，并探究BD、DE、CE之间的数量关系，给以证明．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质就可以得出∠B=∠C=45°，就可以得出∠B=∠C=∠DAE，由∠AEB=∠C+∠CAE，∠DAC=∠DAE+∠CAE而得出∠AEB=∠DAC，就可以得出△BEA∽△CAD；
（2）根据△BEA∽△CAD就可以得出

BE

CA

=

BA

CD

，将△ACE绕点A顺时针旋转90°使点C与点B重合得到△ABF，连接DF，证明△ADE≌△ADF就可以得出DE=DF，由勾股定理就可以得出BD²+CE²=DE²．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠DAE=45°，
∴∠B=∠C=∠DAE．
∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠DAC=∠DAE+∠CAE，
∴∠AEB=∠DAC，
∵∠B=∠C，
∴△BEA∽△CAD；
（2）DE²=BD²+CE²．
理由：∵△BEA∽△CAD，
∴

BE

CA

=

BA

CD

，
∴BE•CD=CA．BA．
∵S_△ABC=

AB•AC

2

，
∴2S_△ABC=CA．BA．
∴BE•CD=2S_△ABC．
将△ACE绕点A顺时针旋转90°使点C与点B重合得到△ABF，连接DF，
∴△ACE≌△ABF，
∴CE=FB，∠C=∠ABF，∠CAE=∠BAF．AE=AF．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
∴∠BAD+∠BAF=∠FAD=45°，
∴∠DAE=∠DAF．
在△ADE和△ADF中

DA=DA ∠DAE=∠DAF AE=AF

，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DE=DF．
∵∠ABC+∠C=90°，
∴∠ABC+∠ABF=∠DBF=90°．
在Rt△DBF中由勾股定理，得
DF²=BD²+BF²．
∴DE²=BD²+CE²．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形相似是关键，证明三角形全等是难点．