Question

如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y=

12

x

的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义,含30度角的直角三角形,平行线分线段成比例

专题：代数几何综合题,数形结合

分析：先由∠ACB=90°，BC=4，得出B点纵坐标为4，根据点B在反比例函数y=

12

x

的图象上，求出B点坐标为（3，4），则OC=3，再解Rt△ABC，得出AC=4

3

，则OA=4

3

-3，设AB与y轴交于点D，由OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出

OD

BC

=

OA

AC

，求得OD=4-

3

，最后根据梯形的面积公式即可求出阴影部分的面积．

解答：解：∵∠ACB=90°，BC=4，
∴B点纵坐标为4，
∵点B在反比例函数y=

12

x

的图象上，
∴当y=4时，x=3，即B点坐标为（3，4），
∴OC=3．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，AC=

3

BC=4

3

，OA=AC-OC=4

3

-3．
设AB与y轴交于点D．
∵OD∥BC，
∴

OD

BC

=

OA

AC

，即

OD

4

=

4 3 -3

4 3

，
解得OD=4-

3

，
∴阴影部分的面积是：

1

2

（OD+BC）•OC=

1

2

（4-

3

+4）×3=12-

3

2

3

．

点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，含30度角的直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，难度适中，求出B点坐标及OD的长度是解题的关键．