Question

20．如图，在△ABC中∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2cm，动点P以3cm/s的速度由A沿射线AC方向运动，动点Q同时以1cm/s的速度由B向CB的延长线方向运动，连PQ交直线AB于D，则当运动时间为$\frac{1}{2}$或3或$\frac{5\sqrt{3}+3}{11}$s时，△ADP是等腰三角形．

Answer 1

分析 由∠ABC=90°、∠A=30°、BC=2cm得AC=4cm、AB=ACcosA=2$\sqrt{3}$cm，设运动时间为t，则AP=3t、BQ=t，分以下三种情况：①当PA=PD时，由∠BDQ=∠PDA=∠A=30°知∠C=∠CPQ=60°、DQ=2BQ=2t，得PQ=PC=AC-AP=4-3t，PD=PQ-DQ=4-3t-2t=4-5t，即可知4-5t=3t，解之得出t的值；②当AP=AD时，得∠ADP=∠BDQ=$\frac{180°-∠A}{2}$=75°、∠DQB=15°，以DQ为边在∠BDQ内部作∠EDQ=∠DQB=15°，设DE=QE=x，知∠DEB=30°，可得BE=BQ-EQ=t-x，由cos∠DEB=$\frac{BE}{DE}$可得x=2（2-$\sqrt{3}$）t，根据BD=DEsin∠DEB=（2-$\sqrt{3}$）t知AD=AB-BD=2$\sqrt{3}$-（2-$\sqrt{3}$）t，由AP=AD可得t的值；③当DA=DP时，知∠A=∠APD=30°，从而得∠CQP=∠ACB-∠APD=30°、∠CQP=∠APD=30°，根据CP=CQ可得t的值．

解答 解：∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2cm，
∴AC=2BC=4cm，AB=ACcosA=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$cm，
设运动时间为t，则AP=3t，BQ=t，
①当PA=PD时，如图1，

则∠BDQ=∠PDA=∠A=30°，
∴∠C=∠CPQ=60°，DQ=2BQ=2t，
∴PQ=PC=AC-AP=4-3t，
∴PD=PQ-DQ=4-3t-2t=4-5t，
则4-5t=3t，
解得：t=$\frac{1}{2}$；
②当AP=AD时，如图2，

则∠ADP=∠BDQ=$\frac{180°-∠A}{2}$=75°，
∴∠DQB=15°，
以DQ为边在∠BDQ内部作∠EDQ=∠DQB=15°，
∴设DE=QE=x，∠DEB=30°，
∴BE=BQ-EQ=t-x，
由cos∠DEB=$\frac{BE}{DE}$得$\frac{t-x}{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：x=2（2-$\sqrt{3}$）t，即DE=2（2-$\sqrt{3}$）t，
∴BD=DEsin∠DEB=（2-$\sqrt{3}$）t，
∴AD=AB-BD=2$\sqrt{3}$-（2-$\sqrt{3}$）t，
由AP=AD得3t=2$\sqrt{3}$-（2-$\sqrt{3}$）t，
解得：t=$\frac{5\sqrt{3}+3}{11}$；
③当DA=DP时，如图3，

则∠A=∠APD=30°，
∴∠CQP=∠ACB-∠APD=30°，
∴∠CQP=∠APD=30°，
∴CP=CQ，则3t-4=2+t，
解得：t=3，
综上，当运动时间为$\frac{1}{2}$或3或$\frac{5\sqrt{3}+3}{11}$s时，△ADP是等腰三角形．

点评 本题主要考查等腰三角形的判定与性质、解直角三角形的应用及解方程的能力，根据等腰三角形的判定与性质分类讨论，并用t表示出相等的边是解题的关键．