Question

如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，O是斜边AB的中点，将直角三角板的直角顶点与点O重合，两直角边分别与边AC、BC交于点E、F，试判断AE与CF的数量关系，并进行证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：如图，作辅助线；证明∠1=∠3，∠A=∠BCO，进而证明△AOE≌△COF，即可解决问题．

解答：解：AE=CF．证明如下：
如图，连接CO．
∵AC=BC，O为斜边AB的中点，
∴CO⊥AB，∠BCO=

1

2

∠ACB=45°，CO=

1

2

AB=AO．
∴∠1+∠2=90°；
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3；
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=

1

2

×90°=45°．
∴∠A=∠BCO．
在△AOE和△COF中，

∠A=∠BCO AO=CO ∠1=∠3

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．