Question

已知关于x的二次函数y=x²的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），无论k为何值时，猜想△AOB的形状，证明你的猜想．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：当k为任意实数时，联立

y=x2 y=kx+1

，得x²-kx-1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，根据两点间距离公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²=k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB为直角三角形．

解答：解：猜想：△AOB为直角三角形．
∵

y=x2 y=kx+1

，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=（x₁-x₂）²+（kx₁-kx₂）²
=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（1+k²）（4+k²）
=k⁴+5k²+4，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²
=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）
=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2
=k⁴+5k²+4，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB为直角三角形．

点评：本题考查的是二次函数的性质，其中涉及到的知识点有一次函数与二次函数的交点问题，勾股定理的逆定理等知识，有一定难度．