Question

6．如图，在直角坐标系中，已知点A（8，0）、B（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜$\frac{10}{3}$）秒．解答如下问题：
（1）当t为何值时，△APQ与△ABO相似？
（2）设△AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）分两种情形讨论①当$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$时，△APQ∽△ABO，②当$\frac{AP}{OA}$=$\frac{AQ}{AB}$时，△APQ∽△AOB，分别列出方程计算即可．
（2）过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由线段比例关系 $\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{OB}$ 求得PD，依据三角形的面积公式可求得S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值．

解答 解：（1）如图①中，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10．
①当$\frac{PA}{AB}$=$\frac{AQ}{OA}$时，△APQ∽△ABO，
即$\frac{10-3t}{10}$=$\frac{2t}{8}$，t=$\frac{20}{11}$．
②当$\frac{AP}{OA}$=$\frac{AQ}{AB}$时，△APQ∽△AOB，
即$\frac{10-3t}{8}$=$\frac{2t}{10}$，t=$\frac{50}{23}$，
综上所述，t=$\frac{20}{11}$s或$\frac{50}{23}$s时，△PAQ与△AOB相似．

（2）如图②所示：过点P作PD⊥x轴于点D．

∵PD⊥x轴，OB⊥x轴，
∴OB∥PD．
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{OB}$，即 $\frac{10-3t}{10}$=$\frac{PD}{6}$．
∴PD=6-$\frac{9}{5}$t．
由三角形的面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$AQ•PD=$\frac{1}{2}$•2t•（6-$\frac{9}{5}$t）=6t-$\frac{9}{5}$t²．
∴S与t的函数关系式为y=-$\frac{9}{5}$t²+6t．
∴S=-$\frac{9}{5}$（t-$\frac{5}{3}$）²+5．
∴当t=$\frac{5}{3}$s时，S有最大值，最大值为5（平方单位）．

点评 本题主要考查的是动点问题的函数图象、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．