Question

如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON．

（1）求该二次函数的关系式；
（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积；
（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①证明：∠ANM＝∠ONM；
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．

Answer 1

（1）
（2）12
（3）相似三角形的基本知识推出该角度的相等，不能

试题分析：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。
又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴，解得。
∴二次函数的关系式为，即。（2分）
（2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。
∴直线OA的解析式为。
把x=4代入得y=-2。∴M（4，－2）。
又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。
∴。（3分）
（3）①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D。则
设A（）,
则直线OA的解析式为。
则M（），N（），H（）。
∴OD=4，ND=，HA=，NH=。
∴。
∴。∴∠ANM=∠ONM。（2分）
②不能。理由如下：分三种情况讨论：
情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=45⁰，
∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。
整理，得，解得。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
情况2，若∠AON是直角，则。
∵ ，
∴。
整理，得，解得，。
∴此时，故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A，使∠AON是直角。
情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴。
∵OD=4，MD=，ND=，∴。
整理，得，解得。
∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。
综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能成为直角三角形。（3分）
点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．