Question

在平面直角坐标系xOy中，如图，将若干个边长为的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA、OC分别落在y轴的正半轴和x轴的负半轴上，将这些正方形顺时针绕点O旋转135°得到相应矩形OA′B′C′，二次函数y＝ax²+bx(a≠0)过点O、B′、C′.

（1）如图，当正方形个数为1时，填空：点B′坐标为        ，点C′坐标为            ，二次函数的关系式为                         ，此时抛物线的对称轴方程为                      ；

（2）如图，当正方形个数为2时，求y=ax²+bx+c(a≠0)图像的对称轴；

（3）当正方形个数为2013时，求y=ax²+bx+c(a≠0)图像的对称轴；
（4）当正方形个数为n个时，请直接写出：用含n的代数式来表示y=ax²+bx+c(a≠0)图像的对称轴。

Answer 1

（1）（2，0），（-1，1），，；（2）；（3）；（4）.

试题分析：（1）先根据旋转的性质及正方形的性质求得点B′、点C′的坐标，再代入二次函数的关系式即可求得结果；
（2）先根据旋转的性质及正方形的性质求得点B′、点C′的坐标，再代入二次函数的关系式即可求得结果；
（3）（4）根据（1）（2）中的规律即可得到结果.
（1）当正方形个数为1时，点B′坐标为（2，0），点C′坐标为（-1，1），二次函数的关系式为，此时抛物线的对称轴方程为；
（2）当正方形个数为2时，将（3，-1） ，（1，-1）代入，则有
 ，解得，
∴，对称轴为直线；
（3）当正方形个数为2013时，对称轴为直线；
（4）当正方形个数为n时，对称轴为直线.
点评：本题要求学生能够自己画出图形，并探索规律，考察的基本知识点是二次函数的一般式、求法以及其对称轴方程．