Question

1．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，将△PAB绕A逆时针旋转90°得△DAC．
（1）试判断△PAD的形状并说明理由；
（2）连接PC，若∠APB=135°，PA=1，PB=3，求PC的长．

Answer 1

分析 （1）结论：△PAD是等腰直角三角形．只要证明△BAP≌△CAD，即可解决问题．
（2））由△BAP≌△CAD，推出PB=CD=3，∠APB=∠ADC=135°，由△PAD是等腰直角三角形，推出∠ADP=45°，∠PDC=135°-∠ADP=90°，由AP=AD=1，推出PD²=AP²+AD²=2，在Rt△PDC中，根据PC=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$计算即可．

解答 解：（1）结论：△PAD是等腰直角三角形．
理由：∵∠CAB=∠PAD=90°，
∴∠BAP=∠CAD，
在△BAP和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAP=∠CAD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△CAD，
∴PA=AD，
∵∠PAD=90°，
∴△PAD是等腰直角三角形．

（2）∵△BAP≌△CAD，
∴PB=CD=3，∠APB=∠ADC=135°，
∵△PAD是等腰直角三角形，
∴∠ADP=45°，∠PDC=135°-∠ADP=90°，
∵AP=AD=1，
∴PD²=AP²+AD²=2，
在Rt△PDC中，PC=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{9+2}$=$\sqrt{11}$

点评 本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，证明∠CDP=90°是本题的突破点，属于中考常考题型．