Question

9．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，∠AOB=36°，AE平分∠BAC交BD于点E，若AC=4，则AB的长度为（　　）

• A． $\sqrt{5}$-2
• B． 5-$\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$-1
• D． 4-$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 如图，设AB=x．首先证明AB=AE=OE=x，再证明△BAE∽△BOA，可得AB²=BE•BO，可得x²=2（2-x），求出x即可．

解答 解：如图，设AB=x．

∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD=2，
∵∠AOB=36°，AE平分∠BAO，
∴∠OAB=∠OBA=72°，∠BAE=∠EAO=36°，
∴∠ABE=∠AEB=72°，
∴AB=AE=OE=x，
∴∠BAE=∠BOA，
∵∠ABE=∠ABO，
∴△BAE∽△BOA，
∴AB²=BE•BO，
∴x²=2（2-x），
∴x²+2x-4=0，
∴x=-1+$\sqrt{5}$或-1-$\sqrt{5}$（舍弃），
∴AB=$\sqrt{5}$-1，
故选C．

点评 本题考查矩形的性质．相似三角形的判定和性质、一元二次方程等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．