题目内容
【题目】阅读下面材料，完成（1），（2）两题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在
中，
，
，点
为
上一点，且满足
，
为
上一点，
，延长
交
于
，求
的值．同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现
与
相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，就可以求出的值．”
……
老师：“把原题条件中的‘’，改为‘
’其他条件不变（如图2），也可以求出的值．
（1）在图1中，①求证：
；②求出的值；
（2）如图2，若，直接写出的值（用含
的代数式表示）．
【答案】（1）①证明见解析；②
；（2）
【解析】
（1）①根据三角形内角和定理可得
，然后根据三角形外角的性质可得
，从而证出结论；
②过点
作
交
的延长线于点
，过点
作
于点
，过点
作
交
于点，利用ASA证出
，可得
，再利用AAS证出
，可得
，利用平行线分线段成比例定理即可证出结论；
（2）根据三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的性质可得，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，利用ASA证出，可得
，再利用相似三角形的判定证出
，可得
，利用平行线分线段成比例定理即可证出结论；
证明：（1）①∵
，
∴
∵
，
∴，
∴
②如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，
∵，
，
∴
，
∴
，
∵
∴，
∴
∵点
是中点，
∴
∵
，
∴，
∴
∵
∴
，
∴
∵
∴
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴
过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵
，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
，
∴
∵
∴
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