Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)连接OE，若cos∠BAE＝，AB＝5，求OE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

【解析】

(1)根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

(2)根据三角函数的定义得到AE＝4，BE＝3，根据勾股定理得到AC＝4，再根据直角三角形斜边中线的性质即可得到结论．

(1)∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵CF∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴四边形AECF是矩形；

(2)在Rt△ABE中，∠E=90°，∵cos∠BAE＝=，AB＝5，

∴AE＝4，

∴BE＝=3，

∵AB＝BC＝5，

∴CE＝8，

∴AC＝=4，

∵四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点O，

∴AO＝CO，

∵∠AEC=90°，

∴OE＝AC=2．