Question

7．如图，△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若∠C=30°，连接EF，求证：EF∥AB；
（3）在（2）的条件下，若AE=2$\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质结合等腰三角形的性质得出∠BEO=∠CBE，进而得出∠AEO=∠C=90°，即可得出答案；
（2）根据已知得出∠CEF=∠FBE=30°，进而得出∠BEF的度数，得出∠BEF=∠OBE，进而得出答案；
（3）得出S_△EFB=S_△EOF，由S_阴影=S_扇EOF，求出答案．

解答 （1）证明：连接OE，
∵OB=OE，
∴∠BEO=∠EBO，
∵BE平分∠CBO，
∴∠EBO=∠CBE，
∴∠BEO=∠CBE，
∴EO∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=∠C=90°，
则AC是圆O的切线；

（2）证明：∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBE=∠FBE=30°，
∴∠BEC=90°-∠FBE=60°，
∵∠CEF=∠FBE=30°，
∴∠BEF=∠BEC-∠CEF=60°-30°=30°，
∴∠BEF=∠OBE，
∴EF∥AB；

（3）解：连接OF
∵EF∥AB，
∴S_△EFB=S_△EOF，
∴S_阴影=S_扇EOF，
设圆的半径为r，在Rt△AEO中，r=2，
∴S_阴影=S_扇EOF=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$．

点评 此题主要考查了切线的判定以及扇形面积求法、平行线的判定与性质等知识，正确作出辅助线得出S_阴影=S_扇EOF是解题关键．