Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为B（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点．
（1）求抛物线y=x²+bx+c的解析式及顶点D的坐标；
（2）求抛物线的对称轴直线，并用尺规作图在对称轴直线上作出P点，使∠APD=∠ACB；
（3）在（2）的条件下求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线方程易求点C、B的坐标．把它们的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求得该抛物线的解析式；然后把抛物线解析式转化为顶点式方程，由顶点式方程直接写出点D的坐标；
（2）利用圆周角定理可以画出点P的位置；
（3）如图，过A作AH⊥BC于点H，连接PA，设直线x=2交x轴于E点．易证△BOC、△AHB为等腰直角三角形，则BC=3

2

，AH=BH=

2

，CH=3

2

-

2

=2

2

，通过解Rt△AHC中，求得PE=2．故坐标为（2，2）或（2，-2），

解答：解：（1）∵y=-x+3恰好经过B，C两点，
∴C（0，3），B（3，0），
∴

9+3b+c=0 c=3

．
解之得，

b=-4 c=3

．
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点D（2，-1）；

（2）如图1，点P是△ACB外接圆圆心；

（3）如图2，过A作AH⊥BC于点H，连接PA，设直线x=2交x轴于E点．
∵OB=OC=3，
∴△BOC为等腰直角三角形，∠OBC=45．，BC=3

2

，
又AB=2，
∴AH=BH=

2

，CH=3

2

-

2

=2

2

，
∴在Rt△AHC中，tan∠ACB=tan∠ACH=

AH

CH

=

1

2

，
故tan∠APE=tan∠ACB=

1

2

∵tan∠APE=

AP

PE

=

1

PE

，
∴PE=2．
故坐标为（2，2）或（2，-2），

点评：本题前两问考查了二次函数的基本性质，较为简单．第三问结合二次函数的图象考查了三角形的性质，综合性较强．