Question

先阅读、再解决问题．
平面直角坐标系下，一组有规律的点：
A₁（0，1）、A₂（1，0）、A₃（2，1）、A₄（3，0）、A₅（4，1）、A₆（5，0）…注：当n为奇数时，A_n（n-1，1），n为偶数时A_n（n-1，0）．
抛物线C₁经过A₁，A₂，A₃三点，抛物线C₂经过A₂，A₃，A₄三点，抛物线C₃经过A₃，A₄，A₅三点，抛物线C₄经过A₄，A₅，A₆三点，…抛物线C_n经过A_n，A_n+1，A_n+2．
（1）直接写出抛物线C₁，C₄的解析式；
（2）若点E（e，f₁）、F（e，f₂）分别在抛物线C₂₇、C₂₈上，当e=29时，求证：△A₂₈EF是直角三角形；
（3）若直线x=m分别交x轴、抛物线C₂₀₁₃、C₂₀₁₄于点P、M、N，作直线A₂₀₁₄M、A₂₀₁₄N，当∠PA₂₀₁₄M=45°时，求sin∠PA₂₀₁₄N的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据顶点式即可求出C₁，C₄的解析式；
（2）由特殊出发，可以发现抛物线C₂₇、C₂₈的解析式应该为：y₂₇=（x-27）²，y₂₈=-（x-28）²+1．则得到点E（29，4）、F（29，0）、A₂₈（27，0），根据两点之间的距离公式和勾股定理即可证明△A₂₈EF是直角三角形；
（3）分两种情况：在A₂₀₁₄（2013，0）点左侧；在A₂₀₁₄（2013，0）点右侧；根据三角函数即可得到sin∠PA₂₀₁₄N的值．

解答：解：（1）由顶点式求出C₁的解析式为：y₁=（x-1）²，C₄的解析式为：y₄=-（x-4）²+1．                
（2）由特殊出发，可以发现这组抛物线解析式的特点：
y₁=（x-1）²，
y₂=-（x-2）²+1，
y₃=（x-3）²，
y₄=-（x-4）²+1，
…
∴抛物线C₂₇、C₂₈的解析式应该为：y₂₇=（x-27）²，y₂₈=-（x-28）²+1．
如图，此时点E（e，f₁）、F（e，f₂）分别为点E（29，4）、F（29，0）；而点A₂₈的坐标是（27，0），

显然△A₂₈EF是直角三角形．
（3）由（2）中发现的规律可知，抛物线C₂₀₁₃、C₂₀₁₄解析式分别为：y₂₀₁₃=（x-2013）²，
y₂₀₁₄=-（x-2014）²+1．
点A₂₀₁₄坐标为（2013，0）．
顺便指向，由（2）的研究经验发现，可以退回简单的抛物线C₃、C₄的情况来研究．分以下两种情况，如图
在A₂₀₁₄（2013，0）点左侧，当m=2012时，M（2012，1）此时有∠PA₂₀₁₄M=45°，N（2012，-3），相应的sin∠PA₂₀₁₄N的值为

3 10

10

；  
在A₂₀₁₄（2013，0）点右侧，当m=2014时，M（2014，1）此时有∠PA₂₀₁₄M=45°，N（2014，1），相应的sin∠PA₂₀₁₄N的值为

2

2

．

点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：顶点式求抛物线的解析式，两点之间的距离公式，勾股定理逆定理，分类思想的应用，三角函数的知识．综合性较强，有一定的难度．