题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+42交x轴于点A，交直线y=x于点B．抛物线y=ax2-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．
（1）求a、c的值．
（2）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．
（3）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴．设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，求d随m的增大而减小时m的取值范围．
（4）若min{y1，y2，y3}表示y1，y2，y3三个函数中的最小值，则函数y=min{-2x+42，x，ax2-2x+c}的最大值为
 
．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）把点C和点D的横坐标16和4分别代入函数可得C（16，10），D（4，4），再根据待定系数法可得a、c的值；
（2）先求出点Q的坐标，点P的坐标，再分两种情况：①当点P在点Q左侧时；②当点P在点Q右侧时，根据两点之间的距离公式可得线段PQ的长为2
6
-3或2
6
+3；
（3）观察图象可知，当0≤m＜4或14≤m＜16时，d随m的增大而减小，当12≤m≤14时，d随m的增大而减小，依此即可求解；        
（4）找到两个函数交点的纵坐标，得到其中最大的y值即为所求．
解答：解：（1）∵在y=-2x+42中，当x=16时，y=10，
在y=x中，当x=4时，y=4；
∴C（16，10），D（4，4）
∵抛物线y=ax2-2x+c经过点C、D，
∴
256a-32+c=10
16a-8+c=4
，
解得
a=
1
8
c=10

∴a的值为
1
8
，c的值为10；
（2）在y=x中，当y=5时，x=5，
∴点Q的横坐标为5
由（1）知，抛物线的解析式为y=
1
8
x2-2x+10，
当y=5时，
1
8
x2-2x+10=5，解得x=8±2
6

∴点P的横坐标为8±2
6
．                                     
①当点P在点Q左侧时，线段PQ的长为5-（8-2
6
）=2
6
-3，
②当点P在点Q右侧时，线段PQ的长为（8+2
6
）-5=2
6
+3，
∴线段PQ的长为2
6
-3或2
6
+3；
（3）令-2x+42=x，
解得x=14，即点B的横坐标为14
观察图象可知，当0≤m＜4或14≤m＜16时，d随m的增大而减小，
当4＜m≤14时，d=x-（
1
8
x2-2x+10）=-
1
8
x2+3x-10=-
1
8
（x-12）2+8
由二次函数图象的性质可知，当12≤m≤14时，d随m的增大而减小，
综上所述，当0≤m＜4或12≤m＜16时，d随m的增大而减小；
（4）∵C（16，10），
∴函数y=min{-2x+42，x，ax2-2x+c}的最大值为10．     
故答案为：10．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，两点之间的距离公式，一次函数和二次函数的增减性，函数最值问题，综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
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下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A、
B、
C、
D、
若多项式（2mx2-x2+3x+1）-（5x2-4y2+3x）的值与x无关，求m2+（5-4m）+3的值．
先化简，再求值：（1-
1
a-1
）÷
a2-4a+4
a2-1
，然后从-2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为B（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点．
（1）求抛物线y=x2+bx+c的解析式及顶点D的坐标；
（2）求抛物线的对称轴直线，并用尺规作图在对称轴直线上作出P点，使∠APD=∠ACB；
（3）在（2）的条件下求点P的坐标．
计算
（1）
38
+
0
-
1
4
；
（2）|
3
-
2
|+2
2
．
如果
a-3
+|b+4|=0，求（a+b）a的值？
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，CD=
3
2
，BD=
5
2
，求AC的长．
计算
（1）（-1）2006+（-
1
2
）-2-（3.14-π）0
（2）（-
1
2
x2）3•（2y2）3÷（-xy）2
（3）1232-122×124（运用乘法公式简便计算）

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