Question

17．已知点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC=α，请直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）将图1中的∠COD按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得∠BOC，再根据角平分线的性质得出∠COE，根据余角的性质得出∠DOE的度数；
（2）把数字换成希腊字母表示，同（1）的方法即可得出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）结论是：∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC．由平角的定义得出∠AOC+∠BOC=180°，再根据角平分线的性质得出∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC，即可代换出∠AOC与∠DOE的关系．

解答 解：（1）∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°，
∵∠COD是直角，∴∠COE+∠DOE=90°，
∴∠DOE=90°-∠COE=90°-70°=20°．
（2）若∠AOC=α，则∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{α}{2}$．
（3）结论是：∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOC．
理由是：∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°-∠AOC，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠COD是直角，
∴∠COE+∠DOE=90°，
∴∠DOE=90°-∠COE=90°-$\frac{1}{2}$∠BOC
=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠AOC）
=$\frac{1}{2}$∠AOC．

点评 本题考查了角平分线的定义，是基础题，难度不大，掌握各角之间的关系是解题的关键．