Question

2．抛物线y=x²+4ax+b与x轴相交于O、A两点（其中O为坐标原点），过点P（2，2a）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B，点B关于抛物线对称轴的对称点为C（其中B、C不重合），连接AP交y轴于点N，连接BC和PC．
（1）a=$\frac{3}{2}$时，求抛物线的解析式和BC的长；
（2）如图a＜-1时，若AP⊥PC，求a的值．

Answer 1

分析 （1）令a=$\frac{3}{2}$代入抛物线，由于抛物线过原点，所以b=0，从而求出抛物线的解析式，然后根据条件求出点B与C的坐标即可求出BC的长度．
（2）由题意可知b=0，然后根据P的坐标分别求出A、B、C、M的坐标，进而求出BC、BP、PM、AM的长度，最后利用△AMP∽△BPC列出关于a的方程即可求出a的值．

解答 解：（1）当a=$\frac{3}{2}$时，
∴抛物线为：y=x²+6x+b，
∴对称轴为x=-3，
又∵抛物线过原点，
∴b=0，
∴y=x²+6x，
∴令x=2代入y=x²+6x，
∴y=16，
∴B（2，16），
∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，
∴C（-8，16），
∴BC=2-（-8）=10，
（2）由于抛物线过原点O，
∴b=0，
∴y=x²+4ax，
令x=2代入y=x²+4ax，
∴y=4+8a，
∴B（2，4+8a），
∵∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，
抛物线的对称轴为x=-2a，
∴C（-4a-2，4+8a），
∵O与A关于x=-2a对称，
∴A（-4a，0），
∴BC=-4a-2-2=-4a-4，
∵P（2，2a），
∴M（2，0），
∴PM=0-2a=-2a，AM=-4a-2，
BP=2a-（4+8a）=-4-6a，
∵AP⊥PC，
∴∠APM=∠PCB，
∴△AMP∽△BPC，
∴$\frac{BP}{AM}=\frac{BC}{PM}$，
∴$\frac{-4-6a}{-4a-2}$=$\frac{-4a-4}{-2a}$，
∴a=-2$±\sqrt{2}$，
∵a＜-1，
∴a=-2-$\sqrt{2}$

点评 本题考查二次函数综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，待定系数求解析式等知识，知识较为综合，属于中等题型．