Question

如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若

AE

AD

=

1

3

，则

BC

BD

=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：根据等边三角形的性质就可以得出△AEC≌△BDC，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出：AD²+BD²=AB²，再设AE=k，则AD=3k，BD=k，求出BC=

5

k，进而得到

BC

BD

的值．

解答： 解：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=∠CAB=45°，EC=DC，AC=BC，AC²+BC²=AB²，
∴2BC²=AB²，∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD．
在△AEC和△BDC中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD EC=DC

，
∴△AEC≌△BDC（SAS），
∴AE=BD，∠E=∠BDC，
∴∠BDC=45°，
∴∠BDC+∠ADC=90°，
即∠ADB=90°．
∴AD²+BD²=AB²．
∵

AE

AD

=

1

3

，
∴可设AE=k，则AD=3k，BD=k，
∴AB²=AD²+BD²=10k²=2BC²，
∴BC=

5

k，
∴

BC

BD

=

5 k

k

=

5

．
故答案为

5

．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．