Question

15．如图，线段BD平分∠ABC，且AB=BC，E是线段BC上一点，DE=DC，连接AE交BD于点F．
（1）求证：△DAF∽△DBA；
（2）若点P是线段AF上一点，连结BP，若∠PBD=$\frac{1}{2}$∠BAD，AB=3，AD=2．求$\frac{EF}{FP}$．

Answer 1

分析 （1）由△DBA≌△DBC，推出DA=DC，∠C=∠BAD，由2∠DAE+∠ADE=180°，2∠ABD+∠ADE=180°，推出2∠DAE=2∠ABD，推出∠DAF=∠ABD，由∠ADF=∠BDA，
可得△DAF∽△DBA；
（2）由△DAF∽△DBA，推出∠AFD=∠BAD，$\frac{DF}{DA}$=$\frac{AF}{BA}$，由∠PBD=$\frac{1}{2}$∠BAD，AB=3，AD=2，推出∠PBD=$\frac{1}{2}$∠AFD，$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{3}{2}$，推出∠FPB=∠FBP，推出BF=PF，由∠BFE=∠AFD，∠FBE=∠FAD，推出△BFE∽△AFD，可得$\frac{EF}{BF}$=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{2}{3}$；

解答 （1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=∠DBC，
在△DBA和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{∠DBA=∠DBC}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△DBA≌△DBC，
∴DA=DC，∠C=∠BAD，
∵DE=DC，
∴DA=DE，∠C=∠DEC，
∴∠DAE=∠DEA，
∴2∠DAE+∠ADE=180°，
∵∠DEC+∠DEB=180°，
∴∠DEB+∠BAD=180°，
∴∠ABE+∠ADE=180°，
∴2∠ABD+∠ADE=180°，
∴2∠DAE=2∠ABD，
∴∠DAF=∠ABD，∵∠ADF=∠BDA，
∴△DAF∽△DBA．

（2）∵△DAF∽△DBA，
∴∠AFD=∠BAD，$\frac{DF}{DA}$=$\frac{AF}{BA}$，
∵∠PBD=$\frac{1}{2}$∠BAD，AB=3，AD=2，
∴∠PBD=$\frac{1}{2}$∠AFD，$\frac{AF}{DF}$=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{3}{2}$，
∴∠FPB=∠FBP，
∴BF=PF，
∵∠BFE=∠AFD，∠FBE=∠FAD，
∴△BFE∽△AFD，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{EF}{PF}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质/多边形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，证到∠ABE+∠ADE=180°是解决第（1）小题的关键，证到BF=PF是解决第（2）小题的关键．