Question

5．等腰△ABC中，AB=BC，D为底边AC上一点，E在射线CB上，∠CDE=∠ABC=α，直线DE交直线AB于F．
（1）如图1，当α=90°，AB=2时，求DE+DF的值；
（2）如图2，当α=30°时，求$\frac{AF}{AD}$的值；
（3）当α=120°时，若DE+DF=3$\sqrt{3}$BF，直接写出$\frac{CE}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明△DEC，△ADF是等腰直角三角形即可解决问题．
（2）如图2中，作AH⊥EF于H．易证∠F=45°，设AH=FH=a，则AF=$\sqrt{2}$a，AD=2a，由此即可解决问题；
（3）首先证明∠F=90°，设BF=b，则BE=2b，EF=$\sqrt{3}$b，由DE+DF=3$\sqrt{3}$BF，推出DE=$\sqrt{3}$b，作DH⊥EC于H，由∠C=∠DEC=30°，推出DE=DC，由DH⊥EC，推出EH=HC，可得EH=HC=$\frac{3}{2}$b，推出EC=3b，BC=5b，由此即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

∵BC=BA，∠ABC=90°，
∴∠A=∠C=45°，
∵∠CDE=∠ABC=90°，
∴∠DEC=∠BEF=∠F=45°，
∴∠A=∠F，
∴DE=DC，DF=DA，
∴DE+DF=DC+DA=AC，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴DE+DF=2$\sqrt{2}$．

（2）如图2中，作AH⊥EF于H．

∵BA=BC，∠B=∠CDE=30°，
∴∠BAC=∠C=75°，
∴∠ADE=∠CDE=30°，∠F=45°，
∴AH=FH，设AH=FH=a，则AF=$\sqrt{2}$a，AD=2a，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（3）如图3中，

∵BA=BC，∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∵∠CDE=∠ABC=120°，
∴∠DEC=∠BEF=30°，
∵∠ABC=∠F+∠BEF，
∴∠F=90°，设BF=b，则BE=2b，EF=$\sqrt{3}$b，
∵DE+DF=3$\sqrt{3}$BF，
∴2DE+EF=3$\sqrt{3}$BF，
∴2DE+$\sqrt{3}$b=3$\sqrt{3}$b，
∴DE=$\sqrt{3}$b，作DH⊥EC于H，
∵∠C=∠DEC=30°，
∴DE=DC，∵DH⊥EC，
∴EH=HC，
∴EH=HC=$\frac{3}{2}$b，
∴EC=3b，BC=5b，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{3b}{5b}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．